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By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die Informatik: Gruppen, Ringe, Körper, Primzahltests, Verschlüsselung

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an.

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5 Geben Sie an, von welcher Art die Rechenstrukturen in den Abbildungen 7 – 9 sind. Im Falle von Gruppen geben Sie deren Ordnung und die Ordnungen ihrer Elemente an! 6 Stellen Sie die Multiplikationstafel modulo 7 f¨ur die Menge {1, 2, . . , 6} ¨ auf. Uberlegen Sie, dass die so entstehende Rechenstruktur eine abelsche Gruppe bildet! Geben Sie zu jedem Element das Inverse an! Welche Ordnung hat die Gruppe? Gegeben Sie die Ordnungen aller Elemente an! Geben Sie eine Untergruppe mit zwei Elementen, eine mit drei Elementen an!

An , n ≥ 3, ist unabh¨angig von der Reihenfolge, in der die Operanden und die entstehenden Zwischenergebnisse verkn¨upft werden. 1 Uber¨ strukturen assoziativ sind! ✷ Eine Eigenschaft, die alle bis auf eine der oben erw¨ahnten Strukturen erf¨ullen, ist die Kommutativit¨at. h. die Vertauschung der Operanden a und b l¨asst das Ergebnis ihrer Verkn¨upfung invariant. Addition und Multiplikation von Zahlen, Vereinigung und Durchschnitt von Mengen, Disjunktion und Konjunktion von aussagenlogischen Ausdr¨ucken sind Beispiele f¨ur kommutative Operationen.

7 Sei G = (M, ∗) eine Gruppe, U ⊆ M und GU ✂ G ein Normalteiler von G. Dann bildet (G/GU , ∗U ) mit (a ∗ GU ) ∗U (b ∗ GU ) = (a ∗ b) ∗ GU eine Gruppe, die so genannte Faktorgruppe von G nach GU . Beweis Die Verkn¨upfung ∗U ist offensichtlich abgeschlossen. 3 auf. Wir wissen, dass (Z, +), die Menge der ganzen Zahlen mit Addition, eine abelsche Gruppe bildet. 6). 14). mZ ist zudem Normalteiler in Z, denn wegen der Kommutativit¨at der Addition gilt a + mZ = mZ + a f¨ur alle a ∈ Z. h. zu a ∈ Z gibt es ganau ein r, 0 ≤ r < m mit a ∈ r + mZ.

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