By Dr. Willi Rinow (auth.)
Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, additionally nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während guy zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit okay. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.
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Herausgeber: Prof. Dr. Dr. h. c. mult. Horst Albach ist Professor der Betriebswirtschaftslehre an der Humboldt-Universität Berlin und Direktor am Wissenschaftszentrum Berlin. Die Autoren sind namhafte Wissenschaftler.
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32. Jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge eines lokal kompakten metrischen Raumes ist lokal kompakt. Be w eis: Ist G in R offen und x E G, so existiert nach Voraussetzung ein s, so daß U(x, s) in sich kompakt ist. Ferner gibt es ein s' > 0 mit s' ;::;; sund U (x, s') C G. U (x, s') ist dann auch in sich kompakt. F sei in R abgeschlossen und U (x, s) (x EF, s > 0) in sich kompakt. s) bezüglich des Teilraumes F. s) abgeschlossen und daher in sich kompakt. 33. R sei lokal kompakt und F eine in sich kompakte Teilmenge von R, die in der in R offenen Menge G enthalten ist.
Ein Punkt x aus R heißt ein Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung von x wenigstens einen von x verschiedenen Punkt von A enthält. Wie bei der Definition des Berührungspunktes kann man sich auch hier wieder auf die sphärischen Umgebungen beschränken. Die Menge aller Häufungspunkte von A heißt die Ableitung von A. Offenbar ist jeder Häufungspunkt auch ein Berührungspunkt von A und jeder Berührungspunkt, der nicht in A enthalten ist, ein Häufungspunkt von A. Punkte von A, die keine Häufungspunkte sind, heißen isolierte Punkte von A.
Wir dürfen die Koordinatenvektoren ;(V) so normieren, daß ;~) = 1. ;r), ... , ;~:) sind dann gerade die inhomogenen kartesischen Koordinaten im En des Punktes ;(v). Es ist also woraus I"~1 (;~»)2;;;; 1 - ;2 folgt, d. h. die Punktfolge ;(V) aus dem Inneren der Einheitssphäre ist auch beschränkt im Sinne der euklidischen Metrik. ») von (;~») (fl = 1, ... =1 2 1. Wir setzen Co = 1 und C= (C o,C1> .. ,Cn). Dann ist also Cebenfalls ein Punkt aus dem Inneren der Einheitssphäre, d. h. aus Si(. Im Inneren der Einheitssphäre aber sind die euklidische und die hyperbolische Metrik topologisch äquivalent.